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梁のたわみ計算ガイド

2025.09.15
技術情報

梁のたわみ計算ガイド｜【梁たわみ計算方法】

梁のたわみ計算を正しく行うことは、機械設計における強度評価と信頼性設計の第一歩です。本稿では片持ち梁・単純支持梁・両端固定梁を対象に、中央一点荷重、等分布荷重、端部モーメントなど全荷重ケースのたわみ式を一覧化し、長方形・円形・中空円形・I 形鋼断面に共通して使える断面二次モーメントの算出式を整理します（材質は SUS304 を想定、JIS G 4303）。

1. たわみ計算の基本式

弾性曲げ理論より、梁の曲げ線形は

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{M(x)}{E I}$

で与えられます。ここで

$y$ ：たわみ量 [mm]
$x$ ：梁軸方向座標 [mm]
$M(x)$ ：曲げモーメント [N·mm]
$E$ ：縦弾性係数（SUS304 の代表値 $E = 193 \times 10^{3}$ MPa）
$I$ ：断面二次モーメント [mm⁴]

2. 断面二次モーメント $I$ の計算

長方形断面（幅 $b$ 、高さ $t$ ）
$I = \dfrac{b t^{3}}{12}$
円形断面（直径 $d$ ）
$I = \dfrac{\pi d^{4}}{64}$
中空円形（外径 $D$ 、内径 $d$ ）
$I = \dfrac{\pi \left(D^{4} - d^{4}\right)}{64}$
I 形鋼（フランジ幅 $B$ 、ウェブ厚 $t_w$ 、フランジ厚 $t_f$ 、全高 $H$ ）
$I = \dfrac{B H^{3} - (B - t_w)\,(H - 2 t_f)^{3}}{12}$

3. 支持条件・荷重条件別たわみ最大値 $\delta_{\max}$

3-1 片持ち梁（先端自由, 根元固定）

片持ち梁：先端集中荷重

先端一点荷重 $P$
$\delta_{\max} = \frac{P L^{3}}{3 E I}$
全長等分布荷重 $q$
$\delta_{\max} = \frac{q L^{4}}{8 E I}$
先端曲げモーメント $M_0$
$\delta_{\max} = \frac{M_0 L^{2}}{2 E I}$

3-2 単純支持梁（両端ピン）

単純支持梁：中央集中荷重

中央一点荷重 $P$
$\delta_{\max} = \frac{P L^{3}}{48 E I} \quad\text{（中央）}$
全長等分布荷重 $q$
$\delta_{\max} = \frac{5 q L^{4}}{384 E I} \quad\text{（中央）}$
集中モーメント $M_0$ を中央に作用
$\delta_{\max} = \frac{M_0 L^{2}}{16 E I}$

3-3 両端固定梁

両端固定梁：中央集中荷重

中央一点荷重 $P$
$\delta_{\max} = \frac{P L^{3}}{192 E I}$
全長等分布荷重 $q$
$\delta_{\max} = \frac{q L^{4}}{384 E I}$
端部モーメント $M_0$ （両端同方向）
$\delta_{\max} = \frac{M_0 L^{2}}{24 E I}$

4. 最大曲げ応力 $\sigma_{\max}$

梁中央断面の曲げ応力は

$\sigma_{\max} = \frac{M_{\max} c}{I}$

ここで $c$ は中立軸から最大繊維までの距離（長方形断面では $t/2$ ）。SUS304 の許容応力は用途により異なりますが、JIS B 8270 の設計基準を参考に安全率を設定してください。

5. 設計フローとチェックリスト

荷重条件と支持条件を整理し、曲げモーメント図を描く。
選定断面の $I$ を算出し、上記式で $\delta_{\max}$ と $\sigma_{\max}$ を求める。
規格許容値（変形限度・材料強度）と比較し、断面寸法または材料を最適化。
必要に応じてたわみ許容値（例：L/250）を図面に明記。

6. まとめ

本ガイドを用いることで、複数の梁形状・支持条件に対したわみ量と最大応力を短時間で評価できます。材料物性や荷重条件が変わっても、基本式と断面係数を正しく適用すれば普遍的に使えるため、設計初期段階での断面最適化とコスト低減に役立ちます。

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