technical-tips

材料の座屈強度

材料の座屈強度｜オイラー座屈・細長比・座屈係数の基礎と設計ポイント

本稿では材料の座屈強度を、新人機械設計者向けに座屈の基本原理・オイラーの座屈式・細長比の考え方から、材料別比較表・計算例・設計時の注意点まで体系的に解説します（単位系はSI、JIS前提）。

細長い圧縮部材は、圧縮応力が高くなると軸方向の圧縮破壊に先立って横方向に不安定変形（座屈）することがあります。座屈は形状・支持条件・材料弾性率に強く依存し、強度（降伏）よりも座屈安定性が支配的になる領域があります。

弾性座屈の臨界荷重 $P_\mathrm{cr}$ は以下で与えられます。

$P_\mathrm{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$

ここで、 $E$ ：ヤング率、 $I$ ：弱軸に対する断面二次モーメント、 $L$ ：部材長、 $K$ ：支持条件による有効長さ係数です。

丸棒の断面特性：

$I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad A=\frac{\pi d^2}{4},\qquad r=\sqrt{\frac{I}{A}}=\frac{d}{4}$

（ $d$ ：直径、 $A$ ：断面積、 $r$ ：回転半径）

座屈挙動は細長比 $\lambda$ で整理します。

$\lambda=\frac{K L}{r},\qquad \sigma_\mathrm{cr}=\frac{P_\mathrm{cr}}{A}=\frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$

$\sigma_\mathrm{cr}$ はオイラー座屈応力で、 $\lambda$ が大きいほど座屈しやすくなります。

降伏応力 $\sigma_y$ との境界（オイラー適用限界）は $\pi^2 E/\lambda^2=\sigma_y$ より

$\lambda_e=\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_y}}$

で近似できます。一般に $\lambda>\lambda_e$ では弾性座屈（オイラー領域）、 $\lambda$ が小さいと降伏（塑性）またはジョンソン近似領域が支配的です。

材料	ヤング率 E [GPa]	降伏応力 σ_y [MPa]	境界細長比 λ_e ≈ π√(E/σ_y)	備考
一般構造用鋼（SS400）	200	245	≈ 90	弾性率が高く座屈に有利
ステンレス鋼（SUS304）	193	205	≈ 96	耐食性は良いが E は鋼よりやや低い
アルミ合金（A6061-T6）	69	276	≈ 50	E が低く細長部材は座屈に不利

条件：材料＝ステンレス（SUS304相当, $E=193\,\mathrm{GPa}$ ）、断面＝丸棒 $d=5\,\mathrm{mm}$ 、長さ $L=100\,\mathrm{mm}$ 、支持＝片持ち（固定–自由, $K=2.0$ ）、安全率 $n=2$ 。

断面特性：
$I=\frac{\pi d^4}{64}=\frac{\pi(5^4)}{64}\times10^{-12}\approx3.07\times10^{-11}\,\mathrm{m^4}$
$A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi(5^2)}{4}\times10^{-6}\approx1.96\times10^{-5}\,\mathrm{m^2}$
$r=\frac{d}{4}=1.25\,\mathrm{mm}$
細長比：
$\lambda=\frac{K L}{r}=\frac{2\times100}{1.25}=160\quad(\text{> } \lambda_e\approx96 \Rightarrow \text{オイラー領域})$
オイラー臨界荷重：
$P_\mathrm{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2} =\frac{\pi^2\times193\times10^9\times3.07\times10^{-11}}{(0.2)^2} \approx1.46\times10^3\,\mathrm{N}$
オイラー座屈応力：
$\sigma_\mathrm{cr}=\frac{P_\mathrm{cr}}{A}\approx\frac{1.46\times10^3}{1.96\times10^{-5}} \approx7.44\times10^{7}\,\mathrm{Pa}=74\,\mathrm{MPa}$
許容座屈荷重（安全率 $n=2$ ）：
$P_\mathrm{allow}=\frac{P_\mathrm{cr}}{n}\approx\frac{1461}{2}\approx730\,\mathrm{N}$

結論：片持ち・細径・短尺でも細長比 $\lambda=160$ と比較的大きく、許容座屈荷重は約 0.73 kN 程度に制限されます。曲げ荷重が同時に作用する場合はさらに余裕を見る必要があります。

境界条件	K	有効長さ $K L$	特徴
両端固定	0.5	0.5L	最も座屈に強いが実現が難しい
固定–ピン	≈0.7	0.7L	片側回転自由
両端ピン	1.0	L	基準ケース
片持ち（固定–自由）	2.0	2L	最も座屈に不利

まず $\lambda=\dfrac{K L}{r}$ を計算し、 $\lambda>\lambda_e=\pi\sqrt{\dfrac{E}{\sigma_y}}$ ならオイラー式で、そうでなければ降伏側チェックも行う。
丸棒は $r=d/4$ 。細長比を下げる最短手は「直径を上げる」か「中間支持を設ける」こと。
片持ちは K が大きく不利。可能なら両端拘束や支持点追加を検討。
曲げ・衝撃・偏心がある時は、座屈計算に加えて有限要素法（FEM）や試作で余裕を確認。